Bachelor thesis about the Dold-Kan correspondence https://github.com/Jaxan/Dold-Kan
You can not select more than 25 topics Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.
This repo is archived. You can view files and clone it, but cannot push or open issues/pull-requests.

350 lines
9.9 KiB

\documentclass[14pt]{beamer}
% beamer definieert 'definition' al, maar dan engels :(
% fix van:
% http://tex.stackexchange.com/questions/38392/how-to-rename-theorem-or-lemma-in-beamer-to-another-language
\usepackage[dutch]{babel}
\uselanguage{dutch}
\languagepath{dutch}
\deftranslation[to=dutch]{Definition}{Definitie}
\deftranslation[to=dutch]{Example}{Voorbeeld}
\definecolor{todocolor}{rgb}{1, 0.3, 0.2}
\newcommand{\td}[1]{\colorbox{todocolor}{*\footnote{TODO: #1}}}
\newcommand{\from}{\leftarrow}
\usepackage{array}
\input{../thesis/preamble}
\graphicspath{ {../presentation2/images/} {../thesis/images/} }
\title{De Dold-Kan correspondentie
\huge $$ \Ch{\Ab} \simeq \sAb $$}
\author{Joshua Moerman}
\institute[Radboud Universiteit Nijmegen]{Begeleid door Moritz Groth}
\date{}
\begin{document}
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}
\begin{frame}{Categorie\"en}
Een \emph{categorie} $\cat{C}$ bestaat uit
\begin{center}
\includegraphics{cat_th}
\end{center}
met \emph{compositie} $-\circ-$, zodat
\begin{itemize}
\item er is een \emph{identiteit} $\id_c: C \to C$ en
\item compositie is associatief.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Voorbeelden}
\begin{itemize}
\item[$\Set$]
objecten: verzamelingen \\
pijlen: functies
\item[$\Ab$]
objecten: abelse groepen \\
pijlen: groupshomomorfismes
\item[$\cat{\underline{4}}$]
\tikz[baseline=-0.5ex]{
\matrix (m) [matrix of math nodes, row sep=2em, column sep=2em, ampersand replacement=\&]{
\ast_1 \& \ast_2 \\
\ast_3 \& \ast_4 \\
};
\path[->] (m-1-1) edge node[font=\small, auto] {$ a $} (m-1-2);
\path[->] (m-1-1) edge node[font=\small, auto] {$ f $} (m-2-1);
\path[->] (m-1-2) edge node[font=\small, auto] {$ b $} (m-2-2);
\path[->] (m-2-1) edge node[font=\small, auto] {$ g $} (m-2-2);
} \hspace{1cm} met $ba = gf$.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Functors}
Een \emph{functor} $F: \cat{C} \to \cat{D}$ is een functie op objecten \'en pijlen.
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.9]{cat_functor}
\end{center}
Zodat
\begin{itemize}
\item $F(\id_C) = \id_{F(C)}$ en
\item $F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)$.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Voorbeeld functor}
Voor een verzameling $V$ definieer
$$ \Z[V] = \{ \phi: V \to \Z \I \phi(v) \neq 0 \text{ voor eindig veel } v \}. $$
\bigskip
Voor een functie $f: V \to W$ definieer
\begin{gather*}
\Z[f]: \Z[V] \to \Z[W] \\
\Z[f](\phi) = \sum_v \phi(v) \chi_{\{f(v)\}}.
\end{gather*}
\bigskip
Dit is een functor: $\Z[-]: \Set \to \Ab$.
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Voorbeeld functor}
Definieer $F: \cat{\underline{4}} \to \Ab$ als volgt:
$$ F(\ast_1) = F(\ast_2) = F(\ast_3) = F(\ast_4) = \Z $$
en op pijlen:
\begin{align*}
F(f)(n) = 4n & & F(g)(n) = 3n \\
F(a)(n) = 6n & & F(b)(n) = 2n.
\end{align*}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\tikz[baseline=-0.5ex]{
\matrix (m) [matrix of math nodes, row sep=2em, column sep=2em, ampersand replacement=\&]{
\Z \& \Z \\
\Z \& \Z \\
};
\path[->] (m-1-1) edge node[font=\small, auto] {$ \times 6 $} (m-1-2);
\path[->] (m-1-1) edge node[font=\small, auto] {$ \times 4 $} (m-2-1);
\path[->] (m-1-2) edge node[font=\small, auto] {$ \times 2 $} (m-2-2);
\path[->] (m-2-1) edge node[font=\small, auto] {$ \times 3 $} (m-2-2);
}
\end{column}
\begin{column}{0.5\textwidth}
Compositie is behouden, want het diagram commuteert.
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Samenvattend}
\begin{itemize}
\item Categorie $\stackrel{D}{=}$ objecten + pijlen.
\item Functor $\stackrel{D}{=}$ pijl tussen categorie\"en.
\end{itemize}
\begin{itemize}
\item Functor $\sim$ Constructies.
\item Functor $\sim$ Diagrammen.
\end{itemize}
\bigskip\pause
$F$ is \emph{contravariant} (notatie $F: \cat{C}^{op} \to \cat{D}$) als
\begin{columns}
\begin{column}{0.7\textwidth}\includegraphics[scale=0.8]{cat_contrafunctor}\end{column}
\begin{column}{0.3\textwidth}\small $F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)$.\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Belangrijke categorie in mijn scriptie}
\begin{itemize} \item[$\DELTA$]
objecten: $[n] = \{0, \ldots, n\}$, $n\in\N$ \\
pijlen: monotoon stijgende functies.
\end{itemize}
\bigskip
\only<1>{\begin{example}
Voor elke $n \in \N$ zijn er pijlen
\end{example}}
\only<2->{\begin{lemma}
Elke pijl in $\DELTA$ is een compositie van
\end{lemma}}
\begin{itemize}
\item $\delta_i: [n] \mono [n+1]$ slaat $i$ over \hfill ($0 \leq i \leq n$)
\item $\sigma_i: [n+1] \epi [n]$ bereik $i$ twee keer \hfill ($0 \leq i < n$)
\end{itemize}
\visible<3>{
Dus $\DELTA = \vcenter{\hbox{\includegraphics{delta_cat}}}$
}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Belangrijke categorie in mijn scriptie}
$\DELTA = \vcenter{\hbox{\includegraphics[scale=0.8]{delta_cat_geom}}}$
\pause\bigskip
\begin{lemma}
De \emph{cosimpliciale vergelijkingen} gelden:
\small
\begin{align*}
\delta_j\delta_i &= \delta_i\delta_{j-1}, \hspace{1.5cm} \textnormal{ if } i < j,\\
\sigma_j\delta_i &= \delta_i\sigma_{j-1}, \hspace{1.5cm} \textnormal{ if } i < j,\\
\sigma_j\delta_j &= \sigma_j\delta_{j+1} = \id,\\
\sigma_j\delta_i &= \delta_{i-1}\sigma_j, \hspace{1.5cm} \textnormal{ if } i > j+1,\\
\sigma_j\sigma_i &= \sigma_i\sigma_{j+1}, \hspace{1.5cm} \textnormal{ if } i \leq j.
\end{align*}
\end{lemma}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{center}
\Large \visible<2->{$A:$} $\DELTA^{op} \to \Ab$ \visible<2->{\hspace{1cm}}
\bigskip
\visible<2->{
$$ A :=
\begin{tikzpicture}[baseline=-0.5ex]
\matrix (m) [matrix of math nodes, ampersand replacement=\&, row sep=2em, column sep=2em] {
A_0 \& A_1 \& A_2 \& \cdots \\
};
\draw [raise line=-5, <-] (m-1-1) -> node[font=\small, above] {$ A(\delta_0) $} (m-1-2);
\draw [raise line=5, <-] (m-1-1) -> node[font=\small, below] {$ A(\delta_1) $} (m-1-2);
\foreach \r in {0} \draw [raise line=\r, ->] (m-1-1) -> (m-1-2);
\foreach \r in {-10, 0, 10} \draw [raise line=\r, <-] (m-1-2) -> (m-1-3);
\foreach \r in {-5, 5} \draw [raise line=\r, ->] (m-1-2) -> (m-1-3);
\foreach \r in {-15, -5, 5, 15} \draw [raise line=\r, <-] (m-1-3) -> (m-1-4);
\foreach \r in {-10, 0, 10} \draw [raise line=\r, ->] (m-1-3) -> (m-1-4);
\end{tikzpicture}$$
}
\end{center}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{De categorie $\sAb$}
\begin{itemize}
\item[Objecten] \emph{Simpliciaal abelse groepen} $A$ \\
preciezer: functoren $A: \DELTA^{op} \to \Ab$
\item[Pijlen] \emph{Natuurlijke transformaties} \\
preciezer: $\phi: A \to B$ bestaat uit $\phi_n: A_n \to B_n$ zodat \\
\tikz[baseline=-0.5ex]{
\matrix (m) [matrix of math nodes, row sep=2em, column sep=2em, ampersand replacement=\&]{
A_n \& A_m \\
B_n \& B_m \\
};
\path[->] (m-1-1) edge node[font=\small, auto] {$ A(f) $} (m-1-2);
\path[->] (m-1-1) edge node[font=\small, auto] {$ \phi_n $} (m-2-1);
\path[->] (m-1-2) edge node[font=\small, auto] {$ \phi_m $} (m-2-2);
\path[->] (m-2-1) edge node[font=\small, auto] {$ B(f) $} (m-2-2);
} \hspace{1cm} voor alle $f:[m] \to [n]$.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{De categorie $\Ch{\Ab}$}
\begin{itemize}
\item[Objecten] \emph{Ketencomplexen} $C$ \\
preciezer: collectie abelse groepen $C_n$ en groepshomonorfismes $\del_{n+1}: C_{n+1} \to C_n$ zodat $\del \circ \del = 0$
\item[Pijlen] \emph{Ketenafbeeldingen} \\
preciezer: $\phi: C \to D$ bestaat uit $\phi_n: C_n \to D_n$ zodat \\
\tikz[baseline=-0.5ex]{
\matrix (m) [matrix of math nodes, row sep=2em, column sep=2em, ampersand replacement=\&]{
C_{n+1} \& C_n \\
D_{n+1} \& D_n \\
};
\path[->] (m-1-1) edge node[font=\small, auto] {$ \del $} (m-1-2);
\path[->] (m-1-1) edge node[font=\small, auto] {$ \phi_{n+1} $} (m-2-1);
\path[->] (m-1-2) edge node[font=\small, auto] {$ \phi_n $} (m-2-2);
\path[->] (m-2-1) edge node[font=\small, auto] {$ \del $} (m-2-2);
}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{$\sAb$ lijkt op $\Ch{\Ab}$}
Simpliciaal abelse groepen:
\begin{center}
\includegraphics{simplicial_abgrp} \\
met de 5 vergelijkingen
\end{center}
Ketencomplexen:
\begin{center}
$ C_0 \from C_1 \from C_2 \from \cdots $ \\
met $\del \circ \del = 0$
\end{center}
\pause $\sAb$ heeft meer structuur?
\end{frame}
\begin{frame}{De Dold-Kan correspondentie}
$$ \visible<2->{N:} \sAb \only<1>{\simeq} \only<2->{\rightleftarrows} \Ch{\Ab} \visible<2->{:K} $$
\visible<2->{
\begin{align*}
\text{Zodat}\qquad &\forall C \in \Ch{\Ab}: &N(K(C)) \iso C \\
\text{en}\qquad &\forall A \in \sAb: &K(N(A)) \iso A.
\end{align*}
}
\bigskip\visible<3->{
$N$ is in zekere zin surjectief: $\forall C \in \Ch{\Ab}$ is er een $A \in \sAb$ met $N(A) \iso C$.
}
\end{frame}
\begin{frame}{Eerste gok}
Definieer $M: \sAb \to \Ch{\Ab}$ met $M(A)_n = A_n$.
\bigskip\pause
Zij $C = \Z \from 0 \from 0 \from \cdots$\\
Is er een $A$ zodat $M(A) \iso C$?\\
M.a.w. $A_0 \iso \Z$ en $A_1 \iso 0$, kan dat?
\bigskip\pause
Nee! Want $A_0 \tot{A(\sigma_0)} A_1$ is injectief!\\
(want $\sigma_0 \delta_0 = \id$, dus $A(\delta_0)A(\sigma_0) = \id$)
\end{frame}
\begin{frame}{Definities}
Zij $A \in \sAb$ \\
$x \in A_n$ heet een \emph{$n$-simplex} \\
$x \in A_n$ is \emph{gedegenereerd} als $x = A(\sigma_i)(y)$ voor een zekere $i$ en $y$.
\end{frame}
\begin{frame}{De juiste constructie}
Zij $A \in \sAb$, definieer
\begin{align*}
N(A)_n &= \bigcap_{i=1}^n \ker(A(\delta_i)) \\
\del &= A(\delta_0)
\end{align*}
\pause
\begin{lemma}
$x \in N(A)_n$ is niet-gedegenereerd.
\end{lemma}
\bigskip
\begin{lemma}
\centering$ A_n = N(A)_n \oplus D_n(A). $
\end{lemma}
\end{frame}
\begin{frame}{Voorbeeld}
Definieer de volgende simpliciaal abelse groep:
\begin{gather*}
A_n = \Z \\
A(\delta_i) = A(\sigma_i) = \id.
\end{gather*}
\pause
$$ N(A) = \Z \from 0 \from 0 \from \cdots. $$
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{center}
$$ N: \sAb \rightleftarrows \Ch{\Ab} :K $$
\pause\bigskip
\Huge Vragen?
\end{center}
\end{frame}
\end{document}