End presentation: added a lot of slides :)

make

@@ -9,6 +9,10 @@ Presentation)	pdflatex "../presentation/presentation.tex" || exit 1
 		pdflatex "../presentation/presentation.tex" || exit 1
 		mv presentation.pdf ../
 		;;
+Presentation2)	pdflatex "../presentation2/presentation.tex" || exit 1
+		pdflatex "../presentation2/presentation.tex" || exit 1
+		mv presentation.pdf ../
+		;;
 Symbols)	pdflatex "../thesis/symbols.tex" || exit 1
 		pdflatex "../thesis/symbols.tex" || exit 1
 		scp symbols.pdf moerman@stitch.science.ru.nl:~/symbols.pdf

presentation2/presentation.tex

@@ -0,0 +1,262 @@
+\documentclass[14pt]{beamer}
+
+% beamer definieert 'definition' al, maar dan engels :(
+% fix van:
+% http://tex.stackexchange.com/questions/38392/how-to-rename-theorem-or-lemma-in-beamer-to-another-language
+\usepackage[dutch]{babel}
+\uselanguage{dutch}
+\languagepath{dutch}
+\deftranslation[to=dutch]{Definition}{Definitie}
+\deftranslation[to=dutch]{Example}{Voorbeeld}
+
+\definecolor{todocolor}{rgb}{1, 0.3, 0.2}
+\newcommand{\td}[1]{\colorbox{todocolor}{*\footnote{TODO: #1}}}
+\newcommand{\from}{\leftarrow}
+
+\usepackage{array}
+
+\input{../thesis/preamble}
+\graphicspath{ {../presentation2/images/} {../thesis/images/} }
+
+\title{Dold-Kan correspondentie
+	\huge $$ \Ch{\Ab} \simeq \sAb $$}
+\author{Joshua Moerman}
+\institute[Radboud Universiteit Nijmegen]{Begeleid door Moritz Groth}
+\date{}
+
+\begin{document}
+
+
+\begin{frame}
+	\titlepage
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+	Een \emph{categorie} $\cat{C}$ bestaat uit
+	
+	\vspace{5cm}\td{plaatje}
+
+	met compositie $-\circ-$, zodat
+	\begin{itemize}
+		\item er is een identiteit $\id_c: C \to C$ en
+		\item compositie is associatief.
+	\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+	\frametitle{Voorbeelden}
+	\begin{itemize}
+		\item[$\Set$]
+			objecten: verzamelingen \\
+			pijlen: functies
+		\item[$\Ab$]
+			objecten: abelse groepen \\
+			pijlen: groupshomomorfismes
+		\item[$\underline{4}$] \td{diagram}
+	\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+	\frametitle{Functors}
+	Een \emph{functor} $F$ is een functie van een categorie $\cat{C}$ naar $\cat{D}$ op objecten \'en pijlen.
+
+	\vspace{3cm}\td{plaatje}
+
+	Zodat
+	\begin{itemize}
+		\item $F(\id_C) = \id_{F(C)}$ en
+		\item $F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)$.
+	\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+	\frametitle{Voorbeeld functor}
+
+	Voor een verzameling $V$ definieer
+	$$ \Z[V] = \{ \phi: V \to \Z \I \phi(v) \neq 0 \text{ voor eindig veel } v \}. $$
+
+	\bigskip
+	Voor een functie $f: V \to W$ definieer
+	\begin{gather*}
+		\Z[f]: \Z[V] \to \Z[W] \\
+		\Z[f](\phi) = \sum_v \phi(v) e_{f(v)}.
+	\end{gather*}
+
+	\bigskip
+	Dit is een functor: $\Z[-]: \Set \to \Ab$.
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+	\frametitle{Voorbeeld functor}
+
+	\td{Commuterend diagram}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+	\frametitle{Samenvattend}
+	\begin{itemize}
+		\item Categorie $\stackrel{D}{=}$ objecten + pijlen.
+		\item Functor $\stackrel{D}{=}$ pijl tussen categorie\"en.
+	\end{itemize}
+
+	\begin{itemize}
+		\item Functor $\sim$ Constructies.
+		\item Functor $\sim$ Diagrammen.
+	\end{itemize}
+
+	$F$ is \emph{contravariant} (notatie $F: \cat{C}^{op} \to \cat{D}$) als \\
+	\td{plaatje}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+	\frametitle{D\'e categorie van mijn scriptie}
+
+	\begin{itemize} \item[$\DELTA$]
+			heeft als objecten $[n] = \{0, \ldots, n\}$, $n\in\N$ \\
+			en als pijlen monotoon stijgende functies.
+	\end{itemize}
+
+	\only<1>{\begin{example}
+		Voor elke $n$ zijn er pijlen
+	\end{example}}
+	\only<2->{\begin{lemma}
+		Elke pijl in $\DELTA$ is een compositie van
+	\end{lemma}}
+	\begin{itemize}
+		\item $\delta_i$\td{Definitie hier}
+		\item $\sigma_i$
+	\end{itemize}
+
+	\visible<3>{
+		Dus $\DELTA = \cdots$\td{Diagram hier}
+	}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+	\frametitle{D\'e categorie van mijn scriptie}
+
+	$\DELTA = \cdots$\td{Plaatje hier}
+
+	\pause\bigskip
+	\begin{lemma}
+		Cosimpliciale gelijkheden\td{dingetjes}
+	\end{lemma}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{center}
+	\Large \visible<2->{$A:$} $\DELTA^{op} \to \Ab$ \visible<2->{\hspace{1cm}}
+
+	\bigskip
+	\visible<2->{
+	$ A := $\td{diagram}
+	}
+\end{center}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+	\frametitle{De categorie $\sAb$}
+	\begin{itemize}
+		\item[Objecten] \emph{Simpliciaal abelse groepen} $A$ \\
+		preciezer: functoren $A: \DELTA^{op} \to \Ab$
+		\item[Pijlen] \emph{Natuurlijke transformaties} \\
+		preciezer: $\phi: A \to B$ bestaat uit $\phi_n: A_n \to B_n$ zodat
+		\vspace{2cm}\td{diagram}
+	\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+	\frametitle{De categorie $\Ch{\Ab}$}
+	\begin{itemize}
+		\item[Objecten] \emph{Ketencomplexen} $C$ \\
+		preciezer: collectie abelse groepen $C_n$ en groepshomonorfismes $\del_{n+1}: C_{n+1} \to C_n$ zodat $\del \circ \del = 0$
+		\item[Pijlen] \emph{Ketenafbeeldingen} \\
+		preciezer: $\phi: C \to D$ bestaat uit $\phi_n: C_n \to D_n$ zodat
+		\vspace{2cm}\td{diagram}
+	\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{$\sAb$ lijkt op $\Ch{\Ab}$}
+Simpliciaal abelse groepen:
+\begin{center}
+	\includegraphics{simplicial_set} \\
+	met de 5 vergelijkingen
+\end{center}
+
+Ketencomplexen:
+\begin{center}
+	$ C_0 \from C_1 \from C_2 \from \cdots $ \\
+	met $\del \circ \del = 0$
+\end{center}
+
+\pause $\sAb$ heeft meer structuur?
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{De Dold-Kan correspondentie}
+	$$ \visible<2->{N:} \sAb \only<1>{\simeq} \only<2->{\rightleftarrows} \Ch{\Ab} \visible<2->{:K} $$
+	
+	\visible<2->{
+	\begin{align*}
+		\text{Zodat}\qquad &\forall C \in \Ch{\Ab}: &N(K(C)) \iso C \\
+		\text{en}\qquad &\forall A \in \sAb: &K(N(A)) \iso A.
+	\end{align*}
+	}
+
+	\bigskip\visible<3->{
+	$N$ is in zekere zin surjectief: $\forall C \in \Ch{\Ab}$ is er een $A \in \sAb$ met $N(A) \iso C$.
+	}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Eerste gok}
+	Definieer $M: \sAb \to \Ch{\Ab}$ met $M(A)_n = A_n$.
+
+	\bigskip\pause
+	Zij $C = \Z \from 0 \from 0 \from \cdots$\\
+	Is er een $A$ zodat $M(A) \iso C$?\\
+	M.a.w. $A_0 \iso \Z$ en $A_1 \iso 0$, kan dat?
+
+	\bigskip\pause
+	Nee! Want $A_0 \tot{A(\sigma_0)} A_1$ is injectief!\\
+	(want $\sigma_0 \delta_0 = \id$, dus $A(\delta_0)A(\sigma_0) = \id$)
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Belangrijke definities}
+	Zij $A \in \sAb$ \\
+	$x \in A_n$ heet een \emph{$n$-simplex} \\
+	$x$ is \emph{gedegenereerd} als $x = A(\sigma_i)(y)$ voor een zekere $i$ en $y$.
+
+	\bigskip\pause
+	\begin{lemma}
+		$\forall x \in A_n$ \\
+		$\exists !$ surjectie $\beta: [n] \epi [m]$ en\\
+		niet-gedegenereerde $y \in A_m$ zodat
+		$$ x = A(\beta)(y). $$
+	\end{lemma}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{De juiste constructie}
+	Zij $A \in \sAb$, definieer
+	\begin{align*}
+		N(A)_n &= \bigcap_{i=1}^n \ker(A(\delta_i)) \\
+		\del &= A(\delta_0)
+	\end{align*}
+
+	\bigskip\pause
+	\begin{lemma}
+		$x \in N(A)_n$ is niet-gedegenereerd.
+	\end{lemma}
+	\bigskip
+	\begin{lemma}
+		Sterker nog:
+		$$ A_n = N(A)_n \oplus D_n(A). $$
+	\end{lemma}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+	\begin{center}
+	\Huge Vragen?
+	\end{center}
+\end{frame}
+
+
+\end{document}

presentation2/symbols.tex

@@ -0,0 +1,22 @@
+\documentclass[14pt]{beamer}
+
+% beamer definieert 'definition' al, maar dan engels :(
+% fix van:
+% http://tex.stackexchange.com/questions/38392/how-to-rename-theorem-or-lemma-in-beamer-to-another-language
+\usepackage[dutch]{babel}
+\uselanguage{dutch}
+\languagepath{dutch}
+\deftranslation[to=dutch]{Definition}{Definitie}
+
+\newcommand{\spc}[0]{\hspace{0.5cm}}
+
+\input{../thesis/preamble}
+
+\begin{document}
+
+
+\begin{frame}
+
+\end{frame}
+
+\end{document}